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“四步法”解初中函数应用题           ★★★★
“四步法”解初中函数应用题
作者:佚名 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2015/8/12 10:04:40

函数是中学数学的核心内容,是数学中考的必考内容,并且出现在倒数第二大题,具有较强选拔功能和区分度,学生的得分率较低,是中考中的一个难点和重点。因此如何提高同学们解决函数应用题的能力?根据我在数学教学中总结和体会,运用 “四步法”结合具体的题目给同学们谈谈函数应用题的解题技巧。
第一步:认真审题,弄清题意,分清量函数和自变量。
第二步:利用待定系数法求出函数的解析式
         明确求出函数解析式的一般步骤:(1)设:设出不同类型的函数解析式的一般形式,其中包括未知的系数。(2)代:把自变量与函数的对应值代入函数解析式中,得到关于待定系数的方程或方程组。(3)解:解方程(组)求出待定系数的值,从而写出函数解析式。
第三步:分析题目中所给量的性质
第四步:利用自变量求函数值或利用函数求自变量的值(特别注意有的题目中的函数值间接给出)
近几年常考分段函数。关于二次函数最值的考查有些变化,由直接求最值,到求取值范围内最值,或求整数点最值;若为分段函数也有比较各段最值确定最值。其它还有考查自变量取值范围,二次函数对称轴性质,函数增减性等。详情见后面例题。
1、(图像信息问题)邮递员小王从县城出发,骑自行车到A村投递,途中遇到县城中学的学生李明从A村步行返校.小王在A村完成投递工作后,返回县城途中又遇到李明,便用自行车载上李明,一起到达县城,结果小王比预计时间晚到1分钟.二人与县城间的距离 (千米)和小王从县城出发后所用的时间 (分)之间的函数关系如图,假设二人之间交流的时间忽略不计,求:
(1)小王和李明第一次相遇时,距县城多少千米?请直接写出答案.
(2)小王从县城出发到返回县城所用的时间.
(3)李明从A村到县城共用多长时间?
建议:读图像信息时:
      1、读横轴、纵轴意义
      2、读特殊点的意义
      3、读每一段图像特征
      4、读整体图像特征
      5、读函数自变量的取值范围
提示:(1)法一 (解析法)求线段解析式再求函数值;法二 (几何法)利用图中相似性直接求所需线段长(2)图文结合读题意
2、(图像信息问题)(2009年衡阳市)在一次远足活动中,某班学生分成两组,第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回,第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回,两组同时出发,设步行的时间为t(h),两组离乙地的距离分别为S1(km)和S2(km),图中的折线分别表示S1、S2与t之间的函数关系. (1)甲、乙两地之间的距离为     km,乙、丙两地之间的距离为      km;(2)求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少?(3)求图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.         提示:注意坐标轴意义、将图像信息转化为实际意义。
3、甲、乙两车同时从地出发,以各自的速度匀速向 地行驶.甲车先到达 地,停留1小时后按原路以另一速度匀速返回,直到两车相遇.乙车的速度为每小时60千米.下图是两车之间的距离 (千米)与乙车行驶时间(小时)之间的函数图象.
(1)请将图中的(   )内填上正确的值,并直接写出甲车从 到 的行驶速度;
(2)求从甲车返回到与乙车相遇过程中 与 之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
(3)求出甲车返回时行驶速度及 、两地的距离.(分析)行程问题:注意坐标轴的意义,将图像信息转化为实际意义进行解答
 
y(千米)
x(小时)
4.4
3
120
(  )
O
 
 
 
 
 




S(km)
2
0
t(h)
A
B
 
 
4、(一家化工厂原来每月利润为120万元,从今年1月起安装使用回收净化设备(安装时间不计),一方面改善了环境,另一方面大大降低原料成本.据测算,使用回收净化设备后的1至x月(1≤x≤12)的利润的月平均值w(万元)满足w=10x+90,第二年的月利润稳定在第1年的第12个月的水平。  (1)设使用回收净化设备后的1至x月(1≤x≤12)的利润和为y,写出y关于x的函数关系式,并求前几个月的利润和等于700万元?  (2)当x为何值时,使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等?  (3)求使用回收净化设备后两年的利润总和。    提示:二次函数、一元二次方程、第(3)问,先求第1 年第12月利润即为第二年每月利润。
5、我市高新技术开发区的某公司,用480万元购得某种产品的生产技术后,并进一步投入资金1520万元购买生产设备,进行该产品的生产加工,已知生产这种产品每件还需成本费40元.经过市场调研发现:该产品的销售单价,需定在100元到300元之间较为合理.当销售单价定为100元时,年销售量为20万件;当销售单价超过100元,但不超过200元时,每件新产品的销售价格每增加10元,年销售量将减少0.8万件;当销售单价超过200元,但不超过300元时,每件产品的销售价格每增加10元,年销售量将减少1万件.设销售单价
为x(元),年销售量为y(万件),年获利为w(万元).(年获利=年销售额—生产成本—投资成本)(1)直接写出y与x之间的函数关系式;(2)求第一年的年获利w与x间的函数关系式,并说明投资的第一年,该公司是盈利还是亏损?若盈利,最大利润是多少?若亏损,最少亏损是多少?(3)若该公司希望到第二年底,除去第一年的最大盈利(或最小亏损)后,两年的总盈利不低于1842元,请你确定此时销售单价的范围.在此情况下,要使产品销售量最大,销售单价应定为多少元?    提示:(1)分段一次函数,两段之间有内在联系,承上启下,即第二段起点是第一段终点;(2)分段二次函数,求最值或区间内最值;(3)第二年没有投资成本,所以与第一年获利函数关系式不一样;求自变量取值范围。
6、四川汶川大地震发生后,我市某工厂 车间接到生产一批帐篷的紧急任务,要求必须在12天(含12天)内完成.已知每顶帐篷的成本价为800元,该车间平时每天能生产帐篷20顶.为了加快进度,车间采取工人分批日夜加班,机器满负荷运转的生产方式,生产效率得到了提高.这样,第一天生产了22顶,以后每天生产的帐篷都比前一天多2顶.由于机器损耗等原因,当每天生产的帐篷数达到30顶后,每增加1顶帐篷,当天生产的所有帐篷,平均每顶的成本就增加20元.设生产这批帐篷的时间为 天,每天生产的帐篷为 顶.
(1)直接写出 与 之间的函数关系式,并写出自变量 的取值范围.
(2)若这批帐篷的订购价格为每顶1200元,该车间决定把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区.设该车间每天的利润为 元,试求出 与 之间的函数关系式,并求出该车间捐款给灾区多少钱?提示:一次函数   分段一次、二次函数,求区间内最值
7、新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机,及时调整投资方向,瞄准光伏产业,建成了太阳能光伏电池生产线.由于新产品开发初期成本高,且市场占有率不高等因素的影响,产品投产上市一年来,公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程(公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次).公司累积获得的利润y(万元)与销售时间第x(月)之间的函数关系式(即前x个月的利润总和y与x之间的关系)对应的点都在如图所示的图象上.该图象从左至右,依次是线段OA、曲线AB和曲线BC,其中曲线AB为抛物线的一部分,点A为该抛物线的顶点,曲线BC为另一抛物线 的一部分,且点A,B,C的横坐标分别为4,10,12
(1)求该公司累积获得的利润y(万元)与时间第x(月)之间的函数关系式;
(2)直接写出第x个月所获得S(万元)与时间x(月)之间的函数关系式(不需要写出计算过程);
(3)前12个月中,第几个月该公司所获得的利润最多?最多利润是多少万元?
提示:分段函数、一次函数、二次函数、
     注意坐标轴意义(y轴为累积利润)、
     第(3)问分段转化求出最值再比较。
8,某商场在销售旺季临近时,某品牌的童装销售价格呈上升趋势,假如这种童装开始时的售价为每件20元,并且每周(7天)涨价2元,从第6周开始,保持每件30元的稳定价格销售,直到11周结束,该童装不再销售。(1)请建立销售价格y(元)与周次x之间的函数关系; (2)若该品牌童装于进货当周售完,且这种童装每件进价z(元)与周次x之间的关系为 ,  1≤ x ≤11,且x为整数,那么该品牌童装在第几周售出后,每件获得利润最大?并求最大利润为多少?
提示:理解开始计数为第一周、分段函数、求区间内最值
9、一快餐店试销某种套餐,试销一段时间后发现,每份套餐的成本为5元,该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本).若每份售价不超过10元,每天可销售400份;若每份售价超过10元,每提高1元,每天的销售量就减少40份.为了便于结算,每份套餐的售价x(元)取整数,用y(元)表示该店日净收入.(日净收入=每天的销售额-套餐成本-每天固定支出) (1)求y与x的函数关系式; (2)若每份套餐售价不超过10元,要使该店日净收入不少于800元,那么每份售价最少不低于多少元? (3)该店既要吸引顾客,使每天销售量较大,又要有较高的日净收入.按此要求,每份套餐的售价应定为多少元?此时日净收入为多少?
提示:不等式、分段函数、一次函数、二次函数(整数点求最值)
 
36
4月
20
40

 
(台)
12月
 
10、由于国家重点扶持节能环保产业,某种节能产品的销售市场逐渐回暖.某经销商销售这种产品,年初与生产厂家签订了一份进货合同,约定一年内进价为0.1万元/台,并预付了5万元押金。他计划一年内要达到一定的销售量,且完成此销售量所用的进货总金额加上押金控制在不低于34万元,但不高于40万元.若一年内该产品的售价 (万元/台)与月次 ( 且为整数)满足关系是式: ,一年后发现实际每月的销售量 (台)与月次 之间存在如图所示的变化趋势.
 
⑴ 直接写出实际每月的销售量 (台)与月次 之间的函数关系式;
⑵ 求前三个月中每月的实际销售利润 (万元)与月次 之间的
函数关系式;⑶ 试判断全年哪一个月的的售价最高,并指出最高售价⑷ 请通过计算说明他这一年是否完成了年初计划的销售量.提示:分段函数(整点)、一次函数、两函数相乘得二次函数、不等式组
11.红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元,经过市场调研发现,这种商品在未来40天内的日销售量m(件)与时间t(天)的关系如下表:
时间t(天)
1
3
5
10
36
.......
日销售量m(件)
94
90
86
76
24
.......
未来40天内,前20天每天的价格y1(元/件)与时间t(天)的函数关系式为 ( 且t为整数),后20天每天的价格y2(元/件)与时间t(天)的函数关系式为 ( 且t为整数)。下面我们就来研究销售这种商品的有关问题:
(1)认真分析上表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m(件)与t(天)之间的关系式;
(2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大,最大日销售利润是多少?
(3)在实际销售的前20天中,该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a<4)给希望工程。公司通过销售记录发现,前20天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t(天)的增大而增大,求a的取值范围。
12.(2010河北)某公司销售一种新型节能产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.若只在国内销售,销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为y = x+150,成本为20元/件,无论销售多少,每月还需支出广告费62500元,设月利润为w内(元)(利润 = 销售额-成本-广告费).若只在国外销售,销售价格为150元/件,受各种不确定因素影响,成本为a元/件(a为常数,10≤a≤40),当月销量为x(件)时,每月还需缴纳 x2 元的附加费,设月利润为w外(元)(利润 = 销售额-成本-附加费).
(1)当x = 1000时,y =         元/件,w内 =         元;
(2)分别求出w内,w外与x间的函数关系式(不必写x的取值范围);
(3)当x为何值时,在国内销售的月利润最大?若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,求a的值;
(4)如果某月要将5000件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大?
参考公式:抛物线的顶点坐标是 .
13.(2010德州)为迎接第四届世界太阳城大会,德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯.已知太阳能路灯售价为5000元/个,目前两个商家有此产品.甲商家用如下方法促销:若购买路灯不超过100个,按原价付款;若一次购买100个以上,且购买的个数每增加一个,其价格减少10元,但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个.乙店一律按原价的80℅销售.现购买太阳能路灯x个,如果全部在甲商家购买,则所需金额为y1元;如果全部在乙商家购买,则所需金额为y2元.(1)分别求出y1、y2与x之间的函数关系式;
(2)若市政府投资140万元,最多能购买多少个太阳能路灯?


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