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[图文]如图,对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)两点,           ★★★
如图,对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)两点,
作者:佚名 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2018/9/7 10:48:43

如图,对称轴为直线x=1的抛物线y=x2bx+cx轴交于Ax10)、Bx20)(x1x2)两点,与y轴交于C点,且+=

1)求抛物线的解析式;

2)抛物线顶点为D,直线BDy轴于E点;

①设点P为线段BD上一点(点P不与BD两点重合),过点Px轴的垂线与抛物线交于点F,求△BDF面积的最大值;

②在线段BD上是否存在点Q,使得∠BDC=QCE?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

 

解:(1)∵抛物线对称轴为直线x=1

∴﹣

b=2

由一元二次方程根与系数关系:

x1+x2=x1x2=

+==

∴﹣

c=3

∴抛物线解析式为:y=x22x3

2)由(1)点D坐标为(1,﹣4

y=0时,x22x3=0

解得x1=1x2=3

∴点B坐标为(30

①设点F坐标为(ab

∴△BDF的面积S=×(4b)(a1+(﹣b)(3a)﹣×2×4

整理的S=2ab6

b=a22a3

S=2a﹣(a22a3)﹣6=a2+4a3

a=10

∴当a=2时,S最大=4+83=1

②存在

由已知点D坐标为(1,﹣4),点B坐标为(30

∴直线BD解析式为:y=2x6

则点E坐标为(0,﹣6

BCCD,则由勾股定理

CB2=302+(﹣302=18

CD2=12+(﹣4+32=2

BD2=(﹣42+312=20

CB2+CD2=BD2

∴∠BDC=90°

∵∠BDC=QCE

∴∠QCE=90°

∴点Q纵坐标为﹣3

代入﹣3=2x6

x=

∴存在点Q坐标为(,﹣3



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