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中考数学复习中的数学思想         ★★★★
中考数学复习中的数学思想
作者:佚名 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2013/8/26 12:56:38

 

数学思想方法是数学的精髓,是数学基本知识的重要组成部分,是一个人终生发展的基础。考查数学思想方法是考查学生能力的必由之路。中考数学试题特别重视突出数学思想和方法的考查。在中考数学复习中,应有意识、有目的、适时地渗透数学思想方法,培养学生有效地利用数学思想方法解决相关问题。要注意让学生针对具体题目总结、体会这些数学方法和数学思想。

一、方程思想

方程思想就是从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,运用定义、公式、性质、定理及条件,把所研究的问题中已知量和未知量之间的数量关系转化为方程,从而使问题得到解决。应用方程的例子俯拾皆是,这里不再赘述。

二、函数思想

它一方面是指以函数概念为依托,运用运动和变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,通过函数的形式,把这种数量关系表示出来,(即建立函数表达式)并加以研究,从而使问题获得解决。另一方面函数思想是对函数概念本质的认识,即利用函数的图像或函数的性质去分析、观察其它数学问题并加以解决。最常见的有一次函数二次函数和反比例函数三角函数。

例、甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地,乙车比甲车晚出发2小时(从甲车出发时开始计时).图中折线 、线段 分别表示甲、乙两车所行路程 (千米)与时间 (小时)之间的函数关系对应的图象(线段 表示甲出发不足2小时因故停车检修).请根据图象所提供的信息,解决如下问题:

1)求乙车所行路程 与时间 的函数关系式;

2)求两车在途中第二次相遇时,它们距出发地的路程;

3)乙车出发多长时间,两车在途中第一次相遇?(写出解题过程)

A

O

D

P

B

F

C

E

y(千米)

x(小时)

480

6

8

10

2

4.5

 

 

 

 

 


解:(1)设乙车所行路程 与时间 的函数关系式为 ,把(20)和(10480)代入,得 ,解得

的函数关系式为                                                                       

2)由图可得,交点 表示第二次相遇, 点横坐标为6,此时 点坐标为(6240),

两车在途中第二次相遇时,它们距出发地的路程为240千米.                                      

3)设线段 对应的函数关系式为 ,把(6240)、(8480)代入,得

,解得

的函数关系式为                                                                  

时,

的纵坐标为60

表示因故停车检修,

交点 的纵坐标为60                                                                                                

代入 中,有 ,解得

交点 的坐标为(360).                                                                                         

交点 表示第一次相遇,

乙车出发 小时,两车在途中第一次相遇.                                                       

三、整体代换思想

本质就是换元法。

例、若a是方程 的根,则代数式 ------------

四、数形结合思想

自从笛卡儿发明了直角坐标系,代数与几何就开始了相互渗透,对数学的影响越来越明显。拉格朗日曾经这么说:“只要代数与几何分道扬镳,它们的进展就缓慢,它们的应用就狭窄。但是,当这两门科学结合成伴侣时,它们就互相吸取新鲜的活力。从那以后就以快速的步伐走向完善。”华罗庚也有类似的论述。由此可见,坐标系不同于一个一般的定理,也不同于一个一般的理论,它是一种思想和艺术。它使整个数学发生了崭新的变化。数学知识尽管来源于生活实践,但数学最本质的东西是从生活实践中概括和抽象出来的。中考有些题需把抽象的知识具体化、形象化,通过直观的形象来分析解决问题。这就需用到数形结合思想。

1

y

x

 

例、如图,直线x1是二次函数 的图象的对称轴,

则有(  )

       A  abc0                              B  bac

       C  abc0                                     D  c2b

 

 

 

五、转化思想

转化的思想是初中教材中涉及最多的数学思想,转化思维是创造思维的核心。如:在解方程(组)时用到的消元、降次的思想;解分式方程时把分式方程转化为整式方程等等。任何一个数学问题都是通过联想、构造、转化的思维方式有机地进行数形转化,从而实现未知到已知的过程。渗透转化思想要引导学生以下几点:1、解方程(组)降次、换元、公式变形。2、一元二次方程和一元二次函数转化的思想  3、几何辅助线引发的几何习题的条件和结论的变化和图形的变化。4、代数、几何之间的转化思想。

例、已知:x24x+1=0, 的值.

解析::将方程两边同时除以x,转化为 2的形式.

x4+ =0 =4.    ( )2 ( ) 2 4=424=12

六、分类讨论思想

   分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思维方法.把问题中所涉及的对象不重不漏的分成有限的若干类的情况.然后对每一种情况逐一解决,从而解决问题.

例、如图,抛物线 轴交于 两点,于 轴交于点

   (1)求出抛物线的解析式以及

   (2) 轴下方的抛物线上是否存在一点 ,使四边形 的面积最大?

      若存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由。

   (3)在抛物线 上求点 ,使 是以 为直角边的直角三角形。

C

B

A

0

y

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


解:(1)  

(2)如图,设 。则 ,且

四边形ABCD的面积= 的面积 的面积 的面积

=

∴存在点D ,使四边形ABCD的面积最大为

C

B

A

0

y

x

D

1

C

B

A

0

y

x

2

E

C

B

A

0

y

x

3

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


(3)有两种情况;如图2过点B

 

如图3,过点 .

综上,在抛物线上存在两点   

 

 



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